有物不知数-文言文中的数学
有物不知数-文言文中的数学
(依据:《孙子问题》;编诗:陈钢) 有物不知数,让我数一数;
三个三个数,剩二好孤独;
五五数剩三,七七又二单;
此物多少数,谁能说清楚?
【解说】这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)编写而成的。原来的题目是:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?”
用通俗的话来说,题目的意思就是
有一些物品,不知道有多少个,只知道将它们三个三个地数,会剩下2个;五个五个地数,会剩下3个;七个七个地数,也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个?
(注:诗题及题目原文都无“至少”二字,但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题,否则就会有无数多个答案。所以,解释题目意思时,在语句中加上了“至少”二字。)
《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是:
“三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百十减之,即得。”“答曰:二十三。”
这些话是什么意思呢?用通俗的话来说,就是:
先求被3除余2,并能同时被5、7整除的数,这样的数最小是140;
再求被5除余3,并能同时被3、7整除的数,这样的数最小是63;
然后求被7除余2,并能同时被3、5整除的数,这样的数最小是30。
于是,由140+63+30=233,得到的'233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。
再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数,就得到许许多多这样的数:
{23,128,233,338,443,…}
从而可知,23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解,而其中最小的解是23。
答:这些物品的数目至少是23个。
需要指出的是,在《孙子算经》上,有一段关于这类题目的解题“术文”:
“凡三三数之剩一则置七十,五五数之剩一则置二十一,七七数之剩一则置十五,一百六以上以一百五减之,即得。”
(注:古称“106”和“105”为“一百六”和“一百五”,而称“160”和“150”为“一百六十”和“一百五十”。所以,这里的“一百六”和“一百五”分别指“106”和“105”,而不是“160”和“150”。)
明代著名的大数学家程大位,在他所著的《算法统宗》中,对于这种解一般“孙子问题”的方法,还编出了四句歌诀,名曰《孙子歌》:
三人同行七十稀,
五树梅花廿一枝;
七子团圆正半月,
除百零五便得知。
歌中的“廿”,读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。
这一歌诀的“诗意”,我们可以不去理会,只需注意它的数字就行了。歌诀中的每一句话,都指出了一步解题方法:
“三(3)人同行七十(70)稀”——是说除以3所得的余数,要用“70”去乘它;
“五(5)树梅花廿一(21)枝”——是说除以5所得的余数,要用“21”去乘它;
“七(7)子团圆正半月(15)”——“半月”是一个月30天的一半,即15日,这是说,除以 7所得的余数,要用“ 15”去乘它;
“除百零五(105)便得知”——这是说要把上面所乘得的三个数相加,加得的和如果大于105,便应减去105,或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六(106)以上,以一百五(105)减之”。这样得出的差,便是所要求的这个最小的未知数了。
运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题,便是
2×70+3×21+2×15=140+63+30=233
233-105-105=23(答略)
不过,用这种方法解这类问题,有它的局限性,它只能解答用3、5、7作除数的题目,遇到用其他数作除数的算题,它就行不通了。这一点必须引起我们的注意。
这种“物不知数(孙子)问题”,在我国古代流传的算法名称很多。宋朝周宓称它为“鬼谷算”、“隔墙算”(之所以称“鬼谷算”,大概是因为它与传说中的哲学家鬼谷子有某些关系);13世纪的大数学家杨辉则称它为“剪管术”。南宋数学家秦九韶将它推广,并又发现一种算法,称它为“大衍求一术”。它被传入西方后,外国人又称它为“中国剩余定理”。但是大多数人较为通俗的叫法,还是称它为“韩信点兵”(也有称“秦王暗点兵”的)。传说我国汉朝的大将韩信,计算士兵数目的方法十分特别,他不是五个五个或十个十个地数,也不要士兵“一、二、三、四、五……”地报数,而是叫他们排起队伍,依次在他面前列队行进:先是一排三人,再是一排五人,然后是一排七人。他只将三次所余的士兵记下来,就知道了士兵的总数。他旁边的人见他并没有数士兵的数目,有时甚至还闭上了眼睛,而居然知道士兵的总数,都感到十分惊奇。所以,后人就把这种算法称为“韩信点兵”了。“韩信点兵问题”在数学史上,是个极有名的问题。西洋人直到18世纪才被瑞士数学家欧拉发现这一问题的解题规律。只拿我国南宋秦九韶的研究与他们相比,他们也晚了五百年左右的时间。
【思考、练习】
1.有一道用诗的形式表达的谜题是:
花生若干粒,三数即余一;
五数无剩余,七数余三粒。
你能猜出得数是多少粒吗?(答案:10粒)
2.有一道民间诗题如下:
秦皇暗点卫队兵,三三数来余二名;
五数七数都余一,卫队共是多少人?
请仿照上面的方法解出这道题目。(答案:71人)
3.有总数不满五十人的一队士兵,“一至三报数”,最后一人报“一”;“一至五报数”,最后一人报“二”;“一至七报数”,最后一人也报“二”。这队士兵有多少人?(答案:37人)
4.用三轮小货车运一批粮食,每次运7袋,最后余下2
袋;每次运8袋,最后余下3袋;每次运9袋,最后余下1袋。这批粮食至少有多少袋?(答案:163袋)
5.有一个数,被5除余2,被7除余6,被11除余9。那么这个数最小是多少?(答案:97)
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